महान गणितज्ञ -जैक्स-सैलोमन हैडामर्ड

संजय गोस्वामी

(जन्म तिथि 8 दिसंबर पर विशेष)

जैक्स-सैलोमन हैडामर्ड का जन्म 8 दिसंबर, 1865, को वर्सेल्स, फ्रांस में हुआ, जैक्स हेडमार्ड एक फ्रांसीसी गणितज्ञ थे जिनका सबसे महत्वपूर्ण परिणाम अभाज्य संख्या प्रमेय था जिसे उन्होंने 1896 में सिद्ध किया था। इसका मतलब यह है कि अभाज्य संख्याओं की संख्या यह बताता है कि अभाज्य संख्याओं की संख्या < n उतनी ही तेजी से अनंत की ओर बढ़ती है जितनी तेजी से n/log e n होती है। जैक्स हैडामर्ड का चिह्न सात बड़ी छवियां देखें जीवनी जैक्स हैडामर्ड के पिता, अमेडी हैडामर्ड ने 6 जून 1864 को क्लेयर मैरी जीन पिकार्ड से शादी की। अमेडी हैडामर्ड, जिनकी पृष्ठभूमि यहूदी थी, एक शिक्षक थे, जो क्लासिक्स, व्याकरण, इतिहास और भूगोल जैसे कई विषयों को पढ़ाते थे, जबकि जैक्स की मां पियानो का पाठ पढ़ाती थीं।

जब जैक्स का जन्म हुआ तो अमेडी वर्सेल्स में लीसी इंपीरियल में पढ़ा रहे थे, लेकिन जब जैक्स तीन साल के थे, तब परिवार पेरिस चला गया जब उनके पिता ने लीसी शारलेमेन में एक पद संभाला। पेरिस में एक बच्चे के बड़े होने का यह एक बुरा समय था। 19 जुलाई 1870 को शुरू हुआ फ्रेंको-प्रशिया युद्ध फ्रांस में बुरी तरह से चला और 19 सितंबर 1870 को प्रशिया ने पेरिस की घेराबंदी करना शुरू कर दिया। यह उन नगरवासियों के लिए कठिन समय था जिन्होंने भोजन के लिए घोड़ों, बिल्लियों और कुत्तों को मार डाला। कई अन्य लोगों की तरह, हैडामर्ड के परिवार ने भी जीवित रहने के लिए हाथी का मांस खाया।

पेरिस ने 28 जनवरी 1871 को आत्मसमर्पण कर दिया और 10 मई 1871 को हस्ताक्षरित फ्रैंकफर्ट की संधि फ्रांस के लिए अपमानजनक थी। आत्मसमर्पण और संधि पर हस्ताक्षर के बीच वास्तव में पेरिस में गृहयुद्ध हुआ और हैडमार्ड्स का घर जला दिया गया। युद्ध ही हाडामर्ड्स के दुख का एकमात्र कारण नहीं था। जैक्स की बहन जीन की मृत्यु 1870 में पेरिस की घेराबंदी से पहले हो गई और दूसरी बहन सुज़ैन, जो 1871 में पैदा हुई थी, 1874 में मर गई। जैक्स ने लीसी शारलेमेन में अध्ययन शुरू किया जहां उनके पिता पढ़ाते थे। स्कूल में अपने प्रारंभिक वर्षों में उन्होंने गणित को छोड़कर सभी विषयों में उत्कृष्ट प्रदर्शन किया।

उन्होंने विशेष रूप से ग्रीक और लैटिन में उत्कृष्ट प्रदर्शन किया। उन्होंने 1936 में लिखा:- …अंकगणित में, पाँचवीं कक्षा तक, मैं अंतिम या लगभग अंतिम था। उनके इस कथन में कोई सच्चाई नहीं थी, क्योंकि हालाँकि पहले तो यह सच था कि वह गणित में कमजोर थे, पाँचवीं कक्षा में उन्होंने लीची में अपनी कक्षा में दूसरा स्थान प्राप्त किया। इस समय (1875) तक वह स्कूली छात्रों के लिए एक राष्ट्रीय प्रतियोगिता, कॉनकोर्स जनरल में कई विषयों में पुरस्कार जीत रहे थे। जब वह पाँचवीं कक्षा में थे, तब गणित के एक अच्छे शिक्षक ने उन्हें गणित और विज्ञान की ओर आकर्षित किया। 1875 में हेडमार्ड के पिता, एक शिक्षक के रूप में खराब प्रतिष्ठा प्राप्त करने के बाद, लीसी लुइस-ले-ग्रैंड में स्थानांतरित हो गए और जैक्स ने 1876 से इस स्कूल में दाखिला लिया।

हैडमर्ड ने इकोले नॉर्मले सुपीरियर में प्रवेश लिया, वहाँ और इकोले पॉलीटेक्निक दोनों में प्रवेश परीक्षाओं में प्रथम स्थान प्राप्त किया। उनके शिक्षकों में टैनरी, हर्मिट, डार्बौक्स, एपेल, गौर्सट और पिकार्ड शामिल थे। उन्होंने 1892 में डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की ।1884 में हैडामर्ड ने इकोले पॉलिटेक्निक और इकोले नॉर्मले सुप्रीयर के लिए प्रवेश परीक्षा दी; दोनों परीक्षाओं में उन्हें प्रथम स्थान प्राप्त हुआ। उन्होंने इकोले नॉर्मले सुप्रीयर को चुना, जहां उन्होंने जल्द ही डुहेम और पेनलेव सहित साथी छात्रों से दोस्ती कर ली। उनके शिक्षकों में जूल्स टैनरी, हरमाइट, डार्बौक्स, एपेल, गौरसैट और एमिल पिकार्ड थे। इस स्तर पर पहले से ही उन्होंने शोध करना शुरू कर दिया, शक्ति श्रृंखला के गुणांकों द्वारा उत्पादित निर्धारक के अनुपात को खोजने की समस्या की जांच की। 30 अक्टूबर 1888 को उन्होंने इकोले नॉर्मले सुप्रीयर से स्नातक की उपाधि प्राप्त की। डॉक्टरेट के लिए शोध करते समय उन्होंने एक स्कूल शिक्षक के रूप में काम किया

। सबसे पहले वह लीसी डी केन से जुड़े थे लेकिन शिक्षण कर्तव्यों के बिना। जून 1889 से उन्होंने लीसी सेंट-लुई में और सितंबर 1890 से लीसी बफ़न में पढ़ाया, जहां उन्होंने तीन साल तक पढ़ाया। हालाँकि उनका शोध बहुत सफल रहा, लेकिन उनके शिक्षण की सराहना नहीं की गई, शायद इसलिए क्योंकि उन्हें अपने छात्रों से उनकी क्षमताओं की तुलना में अधिक क कवश्यकता थी। उनकी सबसे बड़ी सफलता फ्रेचेट को पढ़ाना था और दोनों ने लगभग नौ वर्षों तक पत्र-व्यवहार किया। टेलर की श्रृंखला द्वारा परिभाषित कार्यों पर एक थीसिस के लिए हैडामर्ड ने 1892 में डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की। जटिल चरों के कार्यों पर यह कार्य विश्लेषणात्मक कार्यों के सामान्य सिद्धांत का पता लगाने वाले पहले कार्यों में से एक था, विशेष रूप से उनकी थीसिस में एकता का पहला सामान्य कार्य शामिल था। उसी वर्ष हेडमार्ड को उनके पेपर डिटरिंग द नंबर ऑफ प्राइम्स अंडर ग्रांड प्रिक्स ससेज का मैथेमैटिक्स पुरस्कार प्राप्त हुआ। पुरस्कार का प्रस्तावित शीर्षक, जो ज़ेटा फ़ंक्शंस पर रीमैन के काम अंतराल को भरने से संबंधित है,

हरमाइट ने अपने मित्र स्टिल्टजेस को ध्यान में रखते हुए रखा था। स्टिल्टजेस ने 1885 में दावा किया था कि उन्होंने रीमैन के प्रमेय को सिद्ध कर दिया है, लेकिन उन्होंने अपना प्रमाण कभी प्रकाशित नहीं किया था और, 1890 में पुरस्कार की घोषणा के बाद, स्टिल्टजेस को अपने सबूत में एक कमी मिली जिसे वह भर नहीं सका। उन्होंने पुरस्कार के लिए कोई प्रविष्टि नहीं भेजी, लेकिन हैडमार्ड ने, जब उनकी थीसिस जमा की गई और उनकी मौखिक परीक्षा के बीच, महसूस किया कि उनके परिणामों का उपयोग जीटा कार्यों में किया जा सकता है। सभी कार्यों और जीटा फ़ंक्शन पर उनका पेपर आयनों को प्रथम पुरस्कार से सम्मानित किया गया। ऊपर वर्णित उपलब्धियों के अलावा हैडामर्ड के लिए वर्ष 1892 भी महत्वपूर्ण था। उसी वर्ष जून में उन्होंने लुईस-अन्ना ट्रेनेल से शादी की, जो यहूदी पृष्ठभूमि की हैडामर्ड की तरह थीं। वे एक-दूसरे को बचपन से जानते हैं और संगीत से उनका प्रेम है। अगले वर्ष जब हेडमार्ड को विश्वविद्यालय में प्रोफेसर नियुक्त किया गया तो वे बोर्डो चले गए। यदि वह लीची बफ़न में एक शिक्षक के रूप में उपस्थित होने में असफल रहे, तो यह अब बहुत दूर था, क्योंकि उन्होंने अपने शोध और शिक्षण कौशल दोनों से सभी को प्रभावित किया था।

1 फरवरी 1896 को उन्हें बोर्डो में खगोल विज्ञान और तर्कसंगत यांत्रिकी का प्रोफेसर नियुक्त किया गया। बोर्डो में बिताए गए चार साल न केवल अपने पारिवारिक जीवन में व्यस्त थे, और इस दौरान दो बेटे पियरे और एटियेन का जन्म हुआ, बल्कि वे हेडमार्ड के शोध में भी बहुत उत्पादक थे। इन चार वर्षों के दौरान उन्होंने 29 पेपर प्रकाशित किए, लेकिन वे अपनी संख्या की तुलना में विषयों की गहराई और चौड़ाई के लिए अधिक उल्लेखनीय हैं। शायद इस समय साबित हुआ उनका सबसे महत्वपूर्ण परिणाम अभाज्य संख्या प्रमेय था जिसे उन्होंने 1896 में साबित किया था। इस प्रमेय की परिकल्पना 18वीं शताब्दी में की गई थी, लेकिन 1896 तक इसे सिद्ध नहीं किया गया था, जब हैडामर्ड और (स्वतंत्र र रसे) चार्ल्स डे ला वैली पॉसिन न नटिल विश्लेषण का उपयोग किया था। इसका प्रमाण 1851 में रीमैन द्वारा प्रस्तुत किया गया था, लेकिन उस समय आवश्यक उपकरण विकसित नहीं किये गये थे।

यह समस्या 1851 से 1896 तक जटिल विश्लेषण के विकास के लिए मुख्य प्रेरणाओं में से एक थी जब रीमैन का प्रमाण अंततः पूरा हुआ। इस महत्वपूर्ण खुली समस्या को हल करना 1896 में हैडामर्ड का एकमात्र उल्लेखनीय य यान नहीं था। उसी वर्ष उन्होंने परिवर्तनशील प्रक्षेप पथों के गुणों पर एक पेपर प्रकाशित किया जिसने विज्ञान अकादमी का बोर्डिन पुरस्कार जीता। पुरस्कार का प्रस्तावित विषय जियोडेसिक्स में से एक था और अंतरिक्ष में बिंदुओं के द्रव्यमान के प्रक्षेप पथ का अध्ययन करने के लिए हैडामर्ड के काम ने विभिन्न गैर-रेखीय समीकरणों को जन्म दिया, जिनके समाधान न नियोडेसिक्स के गुण दिए। इस प्रकार उनके कार्य ने ज्यामिति और गतिकी दोनों में बहुत योगदान दिया। एक और परिणाम जो हैडामर्ड ने बोर्डो में अपने समय के दौरान प्रकाशित किया वह 1893 की उनकी प्रसिद्ध नियतिवादी असमानता थी। वे मैट्रिक्स जिनके निर्धारक संबंधों की समानता को संतुष्ट करते हैं, आज हैडामर्ड मैट्रिक्स कहलाते हैं और कॉम्बिनेटरिक्स, कोडिंग सिद्धांत और अन्य क्षेत्रों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं। हेडमार्ड बोर्डो में अपने समय के दौरान राजनीति में शामिल हो गए। अल्फ्रेड ड डफस, जिनकी पत्नी हैडामर्ड की रिश्तेदार थीं, अलसैस स सीं।

एक यहूदी परिवार में जन्मे ड्रेफस ने एक सैन्य कैरियर शुरू किया। 1894 में, युद्ध विभाग में रहते हुए, उन पर जर्मनों को युद्ध रहस्य बेचने का आरोप लगाया गया और आजीवन कारावास की सजा सुनाई गई। हालाँकि उनका मुक़दमा असामान्य था, लेकिन लोकप्रिय यहूदी-विरोधी भावनाओं ने इस वाक्य को प्रसिद्ध बना दिया। जाली दस्तावेज़ों और लीपापोती से तुरंत पता चल गया कि कानूनी प्रक्रिया संदिग्ध थी। पहले तो कई लोगों की तरह हैडामर्ड ने भी सोचा कि ड्रेफस दोषी है। हालाँकि, 1897 में पेरिस जाने के बाद, उन्होंने यह पता लगाना शुरू किया कि ड्रेफस के खिलाफ सबूत कैसे गढ़े गए थे। वह अन्याय को सुधारने का प्रयास करने वालों में एक अग्रणी सदस्य बन गये। पेनलेव ने 1897 में इस मामले पर हेडमार्ड के साथ हुई बातचीत का वर्णन किया लगभग एक घंटे तक, [हैडमार्ड] ने मुझे ड्रेफस की बेगुनाही के बारे में समझाने की कोशिश की, और आखिरकार, मेरे अविश्वास के सामने, उसने मुझे अपने तर्कों के आंतरिक महत्व और प्यार और वेदनशीलता की कमी को समझाने की पूरी कोशिश की। 1898 में उपन्यासकार एमिल ज़ोला ने एक खुला पत्र लिखकर सेना पर ड्रेफस की गलत सजा को छुपाने का आरोप लगाया। इस मामले ने फ्रांस को दो विरोधी खेमों में विभाजित कर दिया, जिससे ड्रेफस के अपराध या निर्दोषता से परे मुद्दे सामने आए। ज़ोला को कानून का सामना करने की मांग की गई, यहूदी विरोधी दंगे भड़क उठे, ड्रेफस पर फिर से मुकदमा चलाने का अनुरोध किया गया। ज़ोला को एक साल की जेल की सजा सुनाई गई और 3,000 फ़्रैंक क कुर्माना लगाया गया। 1899 तक एक दोषी याचिका दायर की गई, जिसके बाद आत्महत्या की गई, और ड्रेफस पर दोबारा मुकदमा चलाया गया, फिर से दोषी पाया गया, लेकिन माफ कर दिया गया। हैडामर्ड ने ड्रेफस का नाम साफ़ करने में सक्रिय भूमिका निभाई, जो अंततः 22 जुलाई 1906 को हुआ, जब ड्रेफस वापस लौटा। सेवा में लड़े और उन्हें लीजन ऑफ ऑनर से सम्मानित किया गया। यह ड्रेफस की कहानी है जो न्याय की रक्षा के अर्थ में [हैडमर्ड] के जीवन की महान कहानी है। जिस क्षण से उन्हें राज्य के नाम पर मनुष्य के साथ किए गए अन्याय की भयावहता और यहूदियों के खिलाफ भेदभाव के परिणाम का एहसास हुआ, उन्होंने उत्साहपूर्वक मामले के पुनरीक्षण के लिए खुद को समर्पित कर दिया।

इस मुद्दे ने उनके जीवन को चिह्नित किया।जैसा कि हमने दिखाया है, ड्रेफस मामला समाप्त होने से बहुत पहले हैडामर्ड ने बोर्डो को पेरिस के लिए छोड़ दिया था। 1897 में उन्होंने जूनियर पद लेने के लिए बोर्डो में अपनी सीट छोड़ दी, एक सोरबोन के विज्ञान संकाय में और दूसरा कॉलेज डी फ्रांस में। अक्टूबर 1897 में पेरिस पहुंचने के कुछ ही समय बाद, उन्होंने लेकन्स डी जियोमेट्री एलिमेंटेयर का पहला खंड प्रकाशित किया। द्वि-आयामी ज्यामिति पर यह खंड 1898 में प्रकाशित हुआ, और इसके बाद 1901 में त्रि-आयामी ज्यामिति पर दूसरा खंड प्रकाशित हुआ। इस कार्य के लिए डार्बौक्स ने अनुरोध किया था और इसका फ़्रांस में गणित शिक्षण पर बड़ा प्रभाव पड़ा।पिछले दशक में अपनी शोध उपलब्धियों के लिए हैडामर्ड को 1898 में प्रिक्स पोंसलेट प्राप्त हुआ। पेरिस में पद संभालने के बाद से उनका शोध मुख्य रूप से गणितीय भौतिकी की ओर मुड़ गया, फिर भी उन्होंने हमेशा दृढ़ता से तर्क दिया कि वह एक गणितज्ञ थे, भौतिक विज्ञानी नहीं। उनका मानना था कि यह उनके काम की तीव्रता थी जिसने इसे गणित बनाया। विशेष रूप से, उन्होंने गणितीय भौतिकी के विभिन्न समीकरणों पर काम किया जिससे उत्कृष्ट समीकरण नकारात्मक घुमावदार सतहों पर जियोडेसिक्स के परिणाम प्राप्त हुए।पेरिस में हैडामर्ड के पहले पाँच वर्षों के दौरान तीन और बच्चे पैदा हुए, पहले एक और बेटा मैथ्यू और फिर दो बेटियाँ सेसिल और जैकलिन। उन्हें अपने शोध के लिए पुरस्कार मिलते रहे और 1906 में फ्रेंच मैथमैटिकल सोसाइटी के अध्यक्ष चुने जाने पर उन्हें फिर से सम्मानित किया गया। 1909 में उन्हें कॉलेज डी फ़्रांस में यांत्रिकी के अध्यक्ष के रूप में नियुक्त किया गया था।

अगले वर्ष उन्होंने लेकन् सुर ले कैलकुल डेस वेरिएशन प्रकाशित किया जिससे कार्यात्मक विश्लेषण की नींव रखने में मदद मिली (उन्होंने कार्यात्मक शब्द पेश किया)। फिर 1912 में उन्हें इकोले पॉलिटेक्निक में विश्लेषण का प्रोफेसर नियुक्त किया गया जहां वे जॉर्डन के उत्तराधिकारी बने।पोंकारे ने इस सीट पर हैडामर्ड का पुरजोर समर्थन किया था, लेकिन, कुछ महीने बाद, 58 वर्ष की दुखद कम उम्र में उनकी मृत्यु हो गई। इसके बाद हैडामर्ड ने पोंकारे के काम का मूल्यांकन करने का अधिक कठिन कार्य संभाला और 1912 की गर्मियों के अंत तक उन्होंने दो प्रमुख भागों का निर्माण किया। 1912 के अंत में हैडामर्ड को पोंकारे की जगह लेने के लिए विज्ञान अकादमी के लिए चुना गया था। बाद में उन्होंने लिखा कि उनकी शादी के बाद से उनकी कई वर्षों की शुद्ध खुशी 1916 में समाप्त हो गई। यह प्रथम विश्व युद्ध था जिसके कारण हैडामर्ड के लिए बड़ी त्रासदी हुई जब उसके दो सबसे बड़े बेटे कार्रवाई में मारे गए। . दोनों वर्दुन में मारे गए और पियरे की हत्या के समय हेडामार्ड रो में पढ़ा रहे थे। वह यह समाचार मिलने से पहले ही चला गया, जो उसे तब तक नहीं मिला जब तक वह पेरिस नहीं लौटा, फ़ानो, वोल्टेरा की पत्नी और अन्य लोगों द्वारा समाचार प्राप्त करने के सर्वोत्तम प्रयासों के बावजूद। लगभग दो महीने बाद वर्दुन के पास एटियेन की हत्या कर दी गई।हेडमार्ड इन त्रासदियों के दर्द को दूर करने और उसे आगे बढ़ने की अनुमति देने का केवल एक ही तरीका जानता था, और वह था खुद को गणित में और भी अधिक मेहनत से झोंक देना। उन्हें 1920 में इकोले सेंट्रल में एपेल विश्लेषण का अध्यक्ष नियुक्त किया गया था, लेकिन उन्होंने इकोले पॉलिटेक्निक और कॉलेज डी फ्रांस में अपने पद बरकरार रखे।

अपनी नियुक्ति और 1933 के बीच के वर्षों के दौरान उन्होंने दो बार संयुक्त राज्य अमेरिका, स्पेन, चेकोस्लोवाकिया, इटली, स्विट्जरलैंड, ब्राजील, अर्जेंटीना और मिस्र की व्यापक यात्रा की।उन्होंने उच्चतम गुणवत्ता की पुस्तकों और पत्रों का उत्पादन जारी रखा, संभवतः अपने सबसे प्रसिद्ध पाठ, लेक्चर्स ऑन कॉची की समस्या इन लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन्स को 1922 में प्रकाशित किया। यह पुस्तक संयुक्त राज्य अमेरिका में येल विश्वविद्यालय में दिए गए उनके एक व्याख्यान पर आधारित थी। उन्होंने नए विषय भी उठाए, संभाव्यता सिद्धांत पर कई पत्र लिखे, विशेषकर मार्कोव श्रृंखलाओं पर। उन्होंने गणित शिक्षा और सामान्य शिक्षा पर कई लेख भी प्रकाशित किए हैं।युद्धों के बीच, हैडामर्ड की राजनीति बाईं ओर चली गई, विशेषकर 1933 में नाज़ियों के सत्ता में आने की प्रतिक्रिया में।

द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत के बाद, जब 1940 में फ्रांस का पतन हुआ, हैडमार्ड और उनका परिवार संयुक्त राज्य अमेरिका भाग गए जहां उन्हें नियुक्त किया गया। कोलंबिया विश्वविद्यालय में विजिटिंग पद. हालाँकि, वह अमेरिका में स्थायी पद हासिल करने में असफल रहे और 1944 में उन्हें भयानक खबर मिली कि उनका तीसरा बेटा मैथ्यू कार्रवाई में मारा गया था। इसके तुरंत बाद हैडामर्ड ने संयुक्त राज्य अमेरिका छोड़ दिया और युद्ध की समाप्ति के बाद जितनी जल्दी हो सके पेरिस लौटने से पहले इंग्लैंड में एक साल बिताया।युद्ध के बाद वह एक सक्रिय शांतिवादी बन गए और उन्हें 1950 में कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन में देश में प्रवेश करने की अनुमति देने के लिए संयुक्त राज्य अमेरिका में गणितज्ञों से मजबूत समर्थन मिला। उन्हें कांग्रेस का मानद अध्यक्ष बनाया गया।एक और त्रासदी हैडामर्ड की मृत्यु से पहले उसकी पिटाई थी। 1962 में, जब वह 96 वर्ष के थे, उनके पोते एटियेन की पर्वतारोहण दुर्घटना में मृत्यु हो गई।

ऐसा लगा कि अंततः हैडामर्ड की आत्मा मर गई और उसने इसके बाद कभी भी अपना घर नहीं छोड़ा, लगभग मरने की प्रतीक्षा कर रहा था।हैडामर्ड न केवल विज्ञान अकादमी के, जिसके लिए उन्हें दिसंबर 1912 में हेनरी पोंकारे की मृत्यु से खाली हुई सीट के लिए चुना गया था, बल्कि पूरे इंस्टिट्यूट डी फ्रांस के अग्रणी थे। पिछले साल दिसंबर में, संस्थान में उनके चुनाव की पचासवीं वर्षगांठ मनाने के लिए उन्हें आधिकारिक तौर पर एक विशेष स्वर्ण पदक से सम्मानित किया गया था, और दुनिया भर के वैज्ञानिकों द्वारा उन्हें सम्मानित किया गया था।ऐसा कोई तरीका नहीं है कि इतनी लंबाई का लेख हैडामर्ड के गणिती योगदान की व्यापकता को प्रतिबिंबित कर सके। लगभग 300 वैज्ञानिक पत्रों और किताबों के साथ-साथ हैडमार्ड ने व्यापक दर्शकों के लिए किताबें भी लिखीं। उनकी पुस्तक द साइकोलॉजी ऑफ इन्वेंशन इन द मैथमेटिकल फील्ड (1945) गणित पर एक उल्लेखनीय कार्य है। हमें हैडमार्ड की शिक्षण पद्धति भी दिखानी चाहिए।

उनके जन्म की शताब्दी मनाने के लिए आयोजित सम्मेलन में उनके एक छात्र ने कहा कि उन्हें सिखाया गया था:- एक सक्रिय, जीवंत शिक्षक, जिनकी सोच में सटीकता और शक्ति का मिश्रण था। तो बात संघर्ष और रोमांच में बदल गई. गंभीर पीड़ा के बिना, अंतर्ज्ञान का महत्व हमारे लिए बहाल हो गया, और सर्वश्रेष्ठ छात्र खुश थे। जब वे 96 वर्ष के थे, तब उनके पोते एटियेन की पर्वतारोहण दुर्घटना में मृत्यु हो गई थी। उसकी मृत्यु 17 अक्टूबर 1963 को पेरिस में हो गई गणित में, हैडमर्ड मैट्रिक्स फ्रांसीसी गणितज्ञ जैक्स हैडमर्ड के नाम पर रखा गया हैडमर्ड मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसकी प्रविष्टियाँ या तो +1 या -1 होती हैं और जिनकी पंक्तियाँ परस्पर लंबवत होती हैं।

ज्यामितीय शब्दों में, इसका मतलब है कि हैडमर्ड मैट्रिक्स में पंक्तियों की प्रत्येक जोड़ी दो लंबवत सदिशों का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि संयोजन शब्दों में, इसका मतलब है कि पंक्तियों की प्रत्येक जोड़ी में उनके स्तंभों के ठीक आधे हिस्से में मेल खाने वाली प्रविष्टियाँ होती हैं और शेष स्तंभों में बेमेल प्रविष्टियाँ होती हैं। यह इस परिभाषा का परिणाम है कि संबंधित गुण स्तंभों के साथ-साथ पंक्तियों के लिए भी मान्य हैं।n × n हैडमर्ड मैट्रिक्स की पंक्तियों द्वारा फैला हुआ n-आयामी समांतर शीर्ष, उन सदिशों द्वारा फैले समांतर शीर्षों में अधिकतम संभव n-आयामी आयतन रखता है जिनकी प्रविष्टियाँ 1 से निरपेक्ष मान में परिबद्ध होती हैं। समान रूप से, हैडमर्ड मैट्रिक्स में 1 से कम या उसके बराबर निरपेक्ष मान वाली प्रविष्टियों वाले मैट्रिक्स में अधिकतम निर्धारक होता है और इसलिए यह हैडमर्ड की अधिकतम निर्धारक समस्या का एक चरम समाधान है।